태초에 수학이 있었다(4)

수학은 직관이나 경험에 의존하지 않고, 약속된 공리(기본 가정)로부터 출발하여 빈틈없는 논리로만 쌓아 올리기때문에 오류가 끼어들 여지가 가장 적다. 그래서 과학은 항시 수학을 뒷받침하고 있다.

패러데이의 전자기 유도법칙이 아무리 훌륭해도 공론화되고 사용화되기 위해서는 수학적으로 입증해야 한다. 

 

특수 상대성 이론, '같다(빛의 속도, 물리법칙)'로 시작, 그러나 시공간은 다르다

 

아인쉬타인의 특수상대성(시간, 거리), 일반 상대성 원리(중력, 공간)도 아무리 이론이 정교해도  수학적으로 입증되지 않으면 공론화 될 수 없는 이론이다.

특수 상대성이론의 전제는 빛의 속도와 물리법칙은 같다는 데서 출발하면서 그 결과로 시간과 공간이 달라진다는 결론을 유도한다.  

 

 

 

뉴톤의 시공간은 분리되지만 아인쉬타인의 시공간이론은 분리되지 않는다.

아인쉬타인은 특수 상대성  이론에서 등속으로 움직이는 관찰자에게 시공간이 어떻게 움직일지 질문하고, 일반상대성 이론에서는 가속도를 가지고 있어서 속도가 변하는 관찰자에게 시공간이 어떻게 보일까를 질문한다. 

 

이러한 아인쉬타인의 이론이 리만기하학이 없었다면 불가능했다. 아인쉬타인의 이론이 있기까지 여러 수학자가 있었다. 리민, 민코프스키, 뇌터가 있었다. 

  

리만 기하학

 

 

리만

 

리만기하학이후 약 60년이 흐른 뒤 독일 물리학자 알베르트 아인슈타인이 이 기하학을 이용하여 일반상대성이론을 발표하였기 때문이다.

중력이 시공간을 휘게 한다는 것을 표현하기 위해서는 평면을 가정하는 기존 기하학으로는 역부족이었기 때문이다. 

 

리만 기하학(Riemannian geometry)은 평평한 공간만 다루던 기존 유클리드 기하학의 한계를 넘어, 휘어진 공간(곡면 및 고차원의 매끄러운 다양체)의 기하학적 성질을 연구하는 미분기하학의 핵심 분야이다. 19세기 독일의 수학자 베른하르트 리만(Bernhard Riemann)이 창시했다.

 

리만이 제안한 곡면 공간의 기하학은 “중력이 물체를 끌어당긴다”는 기존 뉴턴식 관점 대신, “질량이 시공간을 휘게 하고 그 휘어진 시공간을 따라 물체가 움직인다”는 일반상대성이론의 핵심 아이디어를 가능하게 했다. 리만 기악은 평면이 아니라 곡면 중심 기학이었다. 

 

리만의 주요 연구 대상은 공간 안에서 곧게 나아가는 경로인 측지선과 공간의 휘어짐을 나타내는 곡률이다. 각 점에서 측정한 곡률이 측지선의 성질, 공간의 크기와 전체적인 모양에 어떤 제약을 주는지가 핵심적인 문제이다.

 

아인슈타인은 결국 리만기하학을 이용해 일반상대성이론을 완성하는 과정에서 수학자 마르셀 그로스만의 도움을 받은 것으로 알려져 있다. 새로운 수학적 개념이 위대한 물리학의 발견으로 이어진 셈이다.

 

리민기하학과 GPS

 

지금 위치를 추적하기 차량에서 사용하는 위성항법시스템(GPS)이 탄생하는데 리만기하학은 결정적인 역할을 한다.

 

GPS는 차량 운전자는 누구나 알듯이 위성으로부터 신호를 받아 정확한 위치정보를 얻는 시스템으로, 내비게이션 등에 사용된다. 그러나 위성이 떠 있는 곳은 지구에 비해 중력이 약하게 작용해 오차를 보정하는 시스템이 필요하다.

이 오차를 바로잡는 데 일반상대성이론과 특수상대성이론이 사용된다. 아인쉬타인도 수학자의 영향이 없었다면 상대성 이론을 입증하지 못하였을 것이다.

 

아인슈타인은 특히 베른하르트 리만의 수학, 그리고 그를 실제로 가르치고 도운 헤르만 민코프스키·마르셀 그로스만의 영향을 크게 받았다. 특히 일반상대성이론은 리만 기하학, 민코프스키의 수학 없이는 완성하기 어려웠다.

  

다만 아인슈타인이 혼자 리만 기하학을 익힌 것은 아니고, 친구인 수학자 마르셀 그로스만에게서 필요한 수학을 배우고 협력했다. 그래서 “리만의 수학을 배운 아인슈타인”과 “그 수학을 실제로 가르쳐 준 그로스만”을 함께 기억하는 것이 정확하다.

 

민코프스키

 

독일에서 활동한 리투아니아 태생의 유대인 수학자로서 알베르트 아인슈타인이 스위스 취리히 연방 공과대학교(ETH Zürich)에 다닐 때 수학 교수였던 인물이다. 

민코프스키는 '허수 시간'을 도입하여 4차원 시공에서도 피타고라스 정리를 성립시켰다. 

 

 

아인슈타인이 1905년 특수 상대성 이론을 발표했을 때, 그는 시간과 공간을 각각 분리된 독립된 개념으로 다루었다.

이후 1908년 민코프스키는 3차원 공간에 시간축(ct)을 하나 더해 '4차원 민코프스키 시공간(Minkowski spacetime)'이라는 기하학적 모델을 창안했다. 시공간이 서로 떨어질 수 없는 것이다.

 

처음에 아인슈타인은 그의 스승인 민코프스키의 수학적 접근이 "불필요하고 오해의 소지가 있다"며 대수롭지 않게 여겼지만 아인슈타인이 중력과 가속도를 포함하는 일반 상대성 이론을 구축할 때가 되자, 공간과 시간이 기하학적으로 통합된 민코프스키의 수학적 도구와 언어가 절대적으로 필요해졌다.

 

에미 뇌터

 

에미 뇌터도 아인쉬타인에 결정적인 역할을 한다. 1915년 아인슈타인이 일반 상대성 이론을 연구할 당시, 에너지 보존 법칙이 성립하지 않는 것처럼 보이는 난해한 문제에 부딪혔다. 이때 아인슈타인의 초청을 받은 뇌터가 이 문제를 해결해주었다.

 

뇌터의 정리(Noether's Theorem)에서 뇌터는 자연의 대칭성과 물리적 보존 법칙 사이의 관계를 수학적으로 증명해냈다(시간 대칭성=에너지 보존, 공간 대칭성=운동량 보존 등).

이 연구는 아인슈타인의 일반 상대성 이론을 완성하는 데 핵심적인 역할을 했으며 현대 물리학의 기틀이 되었다.

 

 

에미 뇌터 (Amalie Emmy Noether, 1882-1935)

 

노벨 물리학상을 받은 와인 버거 같은 경우는 이휘소 박사가 수학적으로 입증하기 때문에 가능했다.

노벨 물리학상을 받은 와인버거 

 

이휘소 박사가 제시한 게이지 이론의 재규격화는 소립자 물리학의 표준모형을 확립시켰으며, 그의 연구결과는 다른 여러 학자들에게 영향을 주어 와인버그, 살람, 글래쇼(1979년), 트후프트, 벨트만(1999년), 그로스, 윌첵, 폴리처(2004년) 등이 노벨상을 수상하게 됐다.

이휘소 박사는 이들 학자들의 이론을 수학적으로  설명했다. 이휘소가 없었다면 와인버거는 자신의 이론을 수학화 할 수 없었다. 

 

 

원래 입자의 자발적 대칭이 깨졌을 경우, 재격화하기 위하여 아이디어를 내고 연구했던 사람이 노벨상을 수상받은 와인버거였다.  

 

그는 수학적으로 자신의 주장을 입증을 하지 못하였지만 이휘소박사는 와인버거에 대해 명쾌하게 수학적 정립을 한 사람이다. 그러나 이휘소 박사는 1977년에 죽고, 1979년에 노벨 물리학상은 외인버거가 탔다.  

 

이휘소 박사는 1972년경 자발적 대칭성이 깨진 게이지 이론(비가환 게이지 이론)의 재규격화 문제를 완벽하게 계산하고 정리했다.

계산 과정에서 나타나는 무한대 값들이 서로 정확히 상쇄되어 유한한 물리적 값을 얻을 수 있음을 증명했다. 

   

그가 사망한 뒤 게이지 이론은 표준이론이 되어 ‘전기’와 ‘자기’ 현상을 통합 설명하는 Maxwell 이론에 버금가는 물리학 이론으로 자리매김했다.

 

이처럼 세계적인 학자가 있기까지 수학은 절대적인 역할을 한다. 수학이 없는 과학과 공학은 말할 수 없기 때문이다. 패러데이의 전자기유도법칙도 막스플랑크의 수학적 방정식이 있기 때문이다. 

 

마르코니

 

막스플랑크의 수학방정식이 있었기 때문에 헤르츠가 전파를 발명하게 되었고, 헤르츠가 전자기파 발견실험을 성공하였기 때몬에 굴리엘모 마르코니(Guglielmo Marconi)는 전자기파를 이용해 선을 연결하지 않고도 영국에서 미국까지 대서양 건너 멀리 신호를 보내는 무선 전신을 발명할 수 있었다.

전파는 패러데이, 막스 플랑크, 헤르츠, 마르코니의 작품이었다. 영국에서 미국까지 전파로 연결한 이는 마르코니였다.

  

1901년 12월 12일 이탈리아 물리학자 굴리엘모 마르코니(Guglielmo Marconi)는 캐나다 동쪽 뉴펀들랜드 세인트 존스의 바닷가 시그널 힐(Signal Hill)에서 안테나를 장착한 연을 500피트(150m) 상공에 띄웠다.

그리고 무선수신기로 영국에서 보내는 모르스 신호를 받았다. 전파는 3,000km 떨어진 영국 바닷가 콘월의 폴두(Poldhu)에서 보낸 것이었다.

 

 

세계에서 처음으로 대서양을 사이에 두고 무선 송신이 성공한 것이다

 

 

마르코니의 무선 발전기

 

막스플랑크의 수학적 작업이 있었기 때문에 오늘 우리가 전기와 자기를 통합하여 전파(전자기파)를 사용하게 되었다.

막스 플랑크는 수학적 이론을 제시했고 Hz와 마르코니는 이를 상용화했다. 전파의 속도와 빛의 속도는 동일했다. 이를 인간이 발견한 것이다.

인간이 발견한 전파가 우주 끝까지 갈 수 있는 것이다. 우리는 빛과 전파의 속도를 통해서 하나님의 세계도 시간이 멈춰 있다는 것을 알 수 있다. 

아인슈타인의 위대성은 지구의 시공간과 우주의 시공간이 다르다는 것을 발견한 것이다.

20세기의 과학 이론에서 가장 중요한 것은 빛의 속도와 전자기파의 속도가 동일하다는 것을 발견한 것과, 빛과 전자기파 안에는 시간 개념이 없다는 것을 발견한 것이다. 이는 질량이 없는 곳에 시간개념이 없다라는 것을 말한다.

 

하나님의 무한성은 수학을 통해서 잘 드러난다.  수학은 처음에는 우리가 잘 아는 하나, 둘 , 셋으로 시작되는 산수 개념으로 시작되었지만 수학에 깊이 들어가면서 인간사와 깊이 연관된 운동까지도 숫적으로 풀이하고 건물과 땅의 면적까지도 측량하는 기하학적인 면까지 가능하게 했다.

 

따라서 자연과학과 이공계 과학인 물리학과 천문학, 공학, 약학, 화학, 경제학은 수학이 기본이다.  수학이 없다면 이러한 학문을 입증할 수 없다.  그러나 수학도 한계가 있으며 모순이 있다. 

 

쿠르트 괴델의 '불완전성 정리'

 

오스트리아 출신 쿠르트 괴델은 논리학에서 아리스토텔레스, 알프레드 타르스키, 고틀로프 프레게와 함께 인류 역사상 가장 중요한 논리학자이며 20세기의 수학 및 철학 사고에 엄청난 영향을 끼쳤다.

또한 게오르그 칸토어 이래 62년간 난제였던 연속체 가설과 선택공리가 반증될 수 없음을 증명하였고 상대성 이론에서의 괴델우주를 고안하였다. 

 

1931년, 괴델은 《『수학원리』와 관련 체계들의 형식적으로 불가능한 명제들에 관하여(On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems)》라는 논문에서 불완전성 정리를 증명했다.

이는 대략 그 어떤 공리 체계가 되었든 무모순성을 포기하지 않는 한 모든 수학적 참을 포괄할 수는 없다는 함축을 갖는다.

 

다시 말해 공리적 수학 시스템엔 시스템의 공리 내에서 증명할 수 없는 명제가 있다는 것이다.  절대진리였던 수학의 불완전성을 정리한 것이다. 

 

그러나 20세기 수학자 쿠르트 괴델의 '불완전성 정리'에 의해, 수학 체계 안에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 존재한다는 점이 밝혀졌다.

즉, 수학 자체도 완벽하게 스스로의 무결성을 증명할 수는 없다는 한계가 있다. 인간이 만든 수학의 불완정성이다. 수학도 절대진리가 아니라는 것이다. 

 

수학은 완벽한 추상의 세계를 다루기 때문에 현실 세계를 설명할 때는 수학 모델을 적용하는 과정에서 인간의 해석이나 가정이 들어가므로, 현실에 적용된 수학이 항상 100% 완벽한 것은 아니다. 

 

결론적으로 수학은 논리적 일관성과 확실성 면에서는 가장 신뢰할 수 있는 학문이지만, 수학 역시 인간이 만든 논리 체계로서 그 내부적인 한계와 현실 적용의 격차는 존재한다.

그러나 수학은 여전히 우리의 과학과 물질문명을 떠받드는 가장 핵심적인 요소이다. 수학이 없다면 반도체, 핵폭탄, 전기등 모든 과학적인 기술문명은 없다고 보아도 과언이 아니다. 특히 무한대는 수학이 만들어 낸 위대한 요소이다. 

  

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