태초에 수학이 있었다(3)

1. 성경을 통한 하나님의 무한

 

성경에는 하나님의 무한성에 대한 구절이 많이 나타난다. 이러한 구절을 보면 하나님의 무한성이 드러난다.  우주도 무한대이지만 우주를 지으신 하나님의 무한성은 우주보다 크다. 

 

하나님의 무한한 속성이 의미하는 것은 일단 하나님께서 시간이나 공간을 초월하시며 그것에 제한 받지 않으신다는 것이다. 무한의 단순한 의미는 “한계가 없다"는 것이다.

우리가 하나님을 “무한하시다”고 말할 때는 일반적으로 전지(omniscience), 전능(omnipotence), 무소부재(omnipresence)라는 단어를 사용한다. 

 

하나님은 시공간이 끝이 없는 그야말로 무한한 우주속에서  지구를 창조했고, 유한한 지구안에 무한의  개념이 들어왔다.  성경에는 무한과 관련한 구절이 많이 있다.  

성경은 현대 수학이나 철학처럼 '무한(Infinity)'이라는 단어를 학술적으로 정의하지는 않지만, 하나님의 성품, 시공간을 초월하는 존재 방식, 그리고 그분의 지혜와 사랑을 통해 무한의 개념을 깊이 있게 전달한다. 

 

 "처음과 마지막이요 시작과 마침이니라"(계 22:13)

 

 "우리 주는 위대하시며 능력이 많으시며 그의 지혜가 무궁하시도다"(시 147:5)

 

"주의 목전에는 천 년이 지나간 어제 같으며 밤의 한 순간 같을 뿐임이니이다"(시 90:4),

 

"주께는 하루가 천 년 같고 천 년이 하루 같다"(벧후 

 

"우리 주는 위대하시며 능력이 많으시며 그의 지혜가 무궁하시도다"(시 147:5)

 

"하나님이 참으로 땅에 거하시리이까 하늘과 하늘들의 하늘이라도 주를 용납하지 못하겠거든 하물며 내가 건축한 이 성전이오리이까"(왕상 8:27)

 

"여호와는 위대하시니 크게 찬양할 것이라 그의 위대하심을 측량하지 못하리로다"(시:145:3)

 

"산이 생기기 전, 땅과 세계도 주께서 조성하시기 전 곧 영원부터 영원까지 주는 하나님이시니이다"(시90:2)

 

"우리 주는 위대하시며 능력이 많으시며 그의 지혜가 무궁하시도다"(시 147:5).

 

"내가 주의 영을 떠나 어디로 가며 주의 앞에서 어디로 피하리이까 내가 하늘에 올라갈지라도 거기 계시며 스올에 내 자리를 펼지라도 거기 계시니이다.

내가 새벽 날개를 치며 바다 끝에 가서 거주할지라도 거기서도 주의 손이 나를 인도하시며 주의 오른손이 나를 붙드시리이다"(시139:7-10)

 

"하나님이 참으로 땅에 거하시리이까 하늘과 하늘들의 하늘이라도 주를 용납하지 못하겠거든 하물며 내가 건축한 이 성전이오리이까"(왕상 8:27)

 

"능히 모든 성도와 함께 지식에 넘치는 그리스도의 사랑을 알고  그 너비와 길이와 높이와 깊이가 어떠함을 깨달아 하나님의 모든 충만하신 것으로 너희에게 충만하게 하시기를 구하노라"(엡3:19)

 

우리가 신구약성경을 보았을 때 공통적인 것은 하나님은 무한자라는 것이다. 예수의 삶 역시 무한한 능력과 삶을 사셨다.

그는 부활하셔서 영원한 무한의 세계로 가셨다. 신앙인들 역시 예수를 믿는 이유는 무한한 세계에 살고자 하는 것이다. 예수는 무한자이기 때문에 신도들 역시 예수처럼 무한한 세상에 살기 위하여 예수를 의존하는 것이다.    

 

성경에는 무한이라는 단어가 따로 없을지라도 성경이 지시하는 내용은 무한대이다. 인간의 무한한 생을 지시하는 것이 성경이다.

유한한 인간은 성경을 통하여 무한을 추구하는 것이다. 이러한 무한이 수학에서는 어떻게 드러나는지 추적해보자.    

  

2. 수학에서의 무한 

 

수학에서 무한(無限,  infinity)은 수량이나 크기, 공간 또는 시간에 끝이나 한계가 없음을 나타내는 개념이다.  

수학에서 무한대를 나타내는 기호로는 를 사용한다. 수학에서는 수를 통하여 무한성을 드라내고 있다. 수학은 유한한 숫자를 통하여 계산을  하고 실생할에 필요한 부분을 도와주지만 실제로 수학은 무한의 개념을 채택하고 있다.

성경은 말씀을 통하여 무한의 개념이 들어가 있지만 수학은 숫자와 기호, 도형을 통하여 무한의 개념을 지시하고 있다.    

 

집합론에서는 무한 집합의 크기를 기수로 나타내며, 서로 다른 크기의 무한 집합을 구별한다. 한편 해석학에서는 수열이나 함수의 값이 양이나 음의 무한대로 발산하는 양상을 극한의 표기로 나타낸다.

이때 무한대 기호는 특정한 실수에 가까워진다는 뜻으로 쓰이지 않는다. 

 

무한의 성격과 존재에 관한 문제는 고대부터 철학의 논의 대상이었다. 무한을 끝없이 계속되는 과정으로 볼 것인지, 하나의 완성된 전체로 인정할 수 있는지가 주요 쟁점이었다.

미적분학의 발전과 19세기 게오르크 칸토어의 집합론 연구를 통해 무한을 수학적으로 다루는 방법이 발전하였다. 

 

고대 그리스 시대 (기원전 5세기경)에 철학자 제논이 '아킬레스와 거북이', '날아가는 화살' 등의 역설을 통해 무한히 쪼개지는 공간과 시간에 대해 고민하며 무한 개념을 처음 다루었다.

 

 

 

날아가는 화살은 정지해있다. 운동은 연속적 과정이 아니라 수많은 정지된 사진들의 나열이라는 것이다. 

 

철학자 아리스토텔레스는 제논의 난제에 대해 대응했다. 무한을 실제로 존재하는 '실무한(Actual Infinity)'과 끝없이 커질 수 있는 '가능적 무한(Potential Infinity)'으로 구분하였고, 자연계에 실무한은 존재하지 않는다고 보았다.

 

그는 제논은 거리. 시간의 분할을 마이 '이미 존재하는 무한한 점들의 집합'처럼 다루지만 실제로는 필요할 때마다 더 잘게 나눌 수 있을 뿐이라고 했다. 아리스토텔레스는 무한히 많은 분할이 존재한다는 제논의 가정이 잘못되었다고 판단했다. 

 

17세기 뉴턴과 라이프니지가 구축한 미적분학은 극한 개념을 도입해 무한이 많은 양의 합이 유한한 값으로 수렴할 수 있다는 사실을 다루었다.

그러나 제논의 문제제기는 세계가 연속인가, 불연속인가라는 과학철학적 과제를 남기기도 했다. 제논의 역설은 무한급수의 수렴, 등비수열, 극한, 연속함수를 설명하는 사례로 등장하기도 했다.  그의 역설은 2000년동안 수학사를 지배하기도 했다. 

 

 

 우리가 고등학교때 배운 미적분과 집합에도 무한의 기념이 포함되어 있다. 그래서 수학이라는 것은 단지 계산하는 데만 있지 않고 우리가 수학을 통하여 무한의 개념을 맛볼 수 있어야 한다.

성경은 말씀으로서 하나님의 무한성을 드러내지만 수학은 숫자와 도형을 통하여 무한성을 드러내고 있다.  자연수, 집합, 함수, 미적분, 순열, 도형을 통한 무한의 개념을 살펴보자. 

 

이미 하나님은 수학을 통하여 무한의 개념을 드러내고 있다. 수에 포함되어 있는 무한의 개념을 하나씩살펴보자.     

 

 

 1) 자연수를 통한 무한

 

 

자연수(natural number)는 보통 1, 2, 3, 4, ... 처럼 1부터 시작하여 1씩 커지는 양의 정수를 말하여 범위는 무한대까지이다. 자연수 집합은 {1, 2, 3, .....)은 끝없이 계속되는 무한집합이며 우리가 가장 많이 사용하는 자연스런 수이다. 

 

자연수의 무한성은 끝이 없이 계속 커지는 상태(가무한)이자, 1, 2, 3, ...처럼 하나씩 번호를 매겨 셀 수 있는 가산 무한(Countable Infinity)의 가장 기본이 되는 개념이다. 

 

이처럼 자연수는 무한을 설명하는 기본적인 예이다. 어떤 자연수를 택하더라도 그보다 큰 자연수 (n+1)이 있으므로 가장 큰 자연수는 없다. 그러나 각각의 자연수는 유한하며, 무한은 자연수의 목록 끝에 놓인 마지막 수를 뜻하지 않는다. 

 

세는 과정에서 어떤 유한한 단계에 멈추더라도 그때까지 나열한 수는 유한 개이며, 아직 나열하지 않은 수가 남아 있다. 반면 양의 자연수 전체의 집합은 특정 단계까지 나열한 수들에 한정되지 않고 모든 양의 자연수를 원소로 포함한다.

이는 끝없이 계속할 수 있는 과정과 무한히 많은 원소를 가진 전체를 구분하는 예이다.

 

 2) 정수를 통한 무한

 

수학에서 '정수(整數)'라는 이름이 붙은 이유는 '가지런할 정(整)' 자와 '셈 수(數)' 자를 사용하여 '바르고 가지런한 수'라는 뜻을 담고 있기 때문이다. 동양 수학의 고전인 구장산술 등에서 유래한 표현으로, 소수점 아래로 끝없이 이어지거나 끊어지는 부분이 없이 그 자체로 나누어지지 않고 깔끔하게 떨어지는 온전한 모양의 숫자를 나타낸다. 

 

 

정수는 영어로 Integer이며  소수점이나 분수 부분이 없는 온전한 숫자로, 양의 정수, 0, 음의 정수로 이루어진 수의 체계이다. 정수는 양의 정수(자연수), 0, 음의 정수로 이루어져 있으며 이 역시 끝없이 계속된다, 정수의 무한성이다. 

 

• 양의 정수(자연수): 1, 2, 3... 처럼 딱 떨어지는 수

• 음의 정수: -1, -2, -3... 처럼 딱 떨어지는 수에 마이너스가 붙은 수

• 0: 기준이 되는 수

 

 3) 집합을 통한 무한

 

러시아인 칸토어는 기독교인으로서 신의 무한에 대한 생각을 바탕으로 무한 집합론의 기초를 세우는 데에 있어서 매우 큰 역할을 하였다. 

 

칸토어는 무한에 대한 생각을 바탕으로 집합론의 기초를 세우는 데에 있어서 매우 큰 역할을 하였다고 평가된다. 그는 집합 사이의 일대일 대응의 중요성을 확립하고, 집합의 크기에 대한 연구로 무한 집합과 정렬 집합을 정의하였다.

 

칸토어는 무한 집합끼리도 그 크기가 서로 다를 수 있다는 것을 알아차렸고 대각선 논법을 통해 자연수보다 실수의 개수가 더 많음을 증명하였다.

   

 

루트비히 필리프 칸토르(1845-1918)

그는 신의 무한성을 수학에서 펼쳤다. 무한 집합을 주장한 사람으로서 집합 사이의 일대일 대응의 중요성을 확립하고, 집합의 크기에 대한 연구로 무한 집합과 정렬 집합을 정의하였다. 

 

무한에도 크기가 있다. 19세기 수학자 게오르크 칸토어(Georg Cantor)는 모든 무한이 똑같은 크기가 아니라는 혁신적인 개념을 증명했다.

그는 기독교인이었다. 그래서 집합에서 무한성을 주장하곤 했다. 하나님의 무한성을 수학에서 펼친 것이다. 그는 가산무한과 비가산 무한을 주장했다. 

 

가산 무한 (Countable Infinity)은 자연수, 정수, 유리수처럼 1대 1로 번호를 붙여 셀 수 있는 무한을 말한다. 비가산 무한 (Uncountable Infinity) 실수(Real numbers)의 집합처럼 자연수 집합보다 훨씬 크고, 1대 1 대응으로 나열할 수 없는 무한이다. (계속)

 

 

  

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