|
서양철학과 신학 전통에서 신은 전통적으로 절대적으로 무한한 존재로 규정된다.
기독교에서도 신은 시간과 공간, 능력과 존재의 모든 제약에서 벗어난 전지전능하고 영원하며 무한한 존재로 여겨진다.
11세기 스콜라 철학자 안셀무스(Anselm)가 제시한 신의 존재 증명 방법은 ‘존재론적 논증(Ontological Argument)’이다. 수학에서 무한대가 나온 핵심 이유는, 끝없이 계속되는 과정·집합·변화를 다루기 위해서이다. 단순히 “아주 큰 수”가 아니라, 수열·극한·기하학적 길이·집합의 크기 같은 문제를 정확히 표현하기 위한 도구로 발전했다.
자연수는 1, 2, 3, …처럼 어떤 수를 골라도 그보다 큰 수가 존재합니다. 이 “끝이 없음”을 표현하려면 무한 개념이 필요하다.
비합리적인 수(unrational)인 무리수와 소수처럼 순환하지 않는 소수는 소수점 아래가 끝나지 않는다. 이를 다루려면 무한히 이어지는 자릿수의 관점이 필요하다. 무한대로 순환되는 수이다. 제논의 역설 같은 운동·분할 문제 또 해결되어야 할 문제이다. 거리를 계속 절반으로 나누면 무한히 많은 조각이 생기지만, 전체 거리는 유한하다. 이 모순을 설명하려면 무한한 합과 극한 개념이 필요했다.
미적분의 탄생은 곡선의 기울기, 면적, 속도를 구할 때 “아주 작은 변화”와 “끝없이 가까워지는 과정”을 다뤄야 했다. 무한소·무한대 개념은 미적분 발전의 배경이 되었다.
무한대 기호( ∞ )는 1655년 영국 수학자 존 윌리스가 처음 사용한 것으로 알려져 있다. 그러나 17세기까지 무한은 주로 “매우 큰 수” 또는 끝없는 과정 정도로 다뤄졌고, 엄밀한 수학적 대상은 아니었다. 수학에서 무한대 개념이 완전히 자리 잡기까지는 매우 오랜 시간이 걸렸으며, 이는 크게 고대의 철학적 접근(기원전), 17세기 기호의 도입과 미적분학의 발전, 19세기 현대 집합론을 통한 정립의 3단계로 나누어 볼 수 있다.
무한대(無限大, infinity)는 현대 수학에서 끝없이, 경계 없이, 혹은 어떠한 자연수보다 큰 것을 말한다.
수학에서 무한대는 '가장 큰 수'를 뜻하는 상태나 값이 아니라, 끝없이 커지거나 한계 없이 다가가는 '상태'를 의미한다.
자연수를 통한 무한대
자연수를 통해 무한대를 이해하는 가장 대표적인 개념은 가산 무한(Countable IInfinity)이다. 수학에서 자연수의 개수는 끝이 없기 때문에 무한하지만, 하나씩 차례대로 셀 수 있는 특성을 가진다. 자연수는 (1, 2, 3, 4, .....) 로 계속 커지며, 마지막 수 n이 있다고 가정해도 그 다음 수인 n+1이 존재하기 때문에 끝이 없다.
집합을 통한 무한대
수학에서 무한대(∞)는 집합의 크기(원소의 개수)를 나타내는 ‘기수(Cardinality)’ 개념을 통해 정의하고 분류한다.
어떤 집합이 자신의 진부분집합(자기 자신을 제외한 부분집합)과 1대1 대응(결합)을 이룰 수 있을 때, 그 집합을 무한집합이라고 한다.
그러나 무한에도 크기가 있다.
수열을 통한 무한대
수열은 영어로 시퀀스(Sequence)라고 한다. 시퀀스는 기본적으로 '순서', '연속성 있는 일련의 사건이나 행동'을 뜻하는 단어이다.
고등학교때 학교에서 배웠지만 수열은 어떤 규칙에 따라 차례대로 나열된 수의 열을 말한다. 수열을 이루는 각 수를 항이라고 부른다. 수열에는 등차수열, 등비수열이 있다.
가장 대표적이고 중요한 수열 두 가지는 등차수열(Arithmetic Progression)과 등비 수열(Geometric Progression)이다.
등차수열은 앞뒤 항의 차이가 일정한 수열이다. 이 일정한 차이를 공차(d)라고 한다. 공차가 2인 등차수열은 (1, 3, 5, 7, 9, 11......) 이다.
수열(Sequence)을 통한 무한대는 끝없는 진행된다. 수열은 무한대를 가장 직관적으로 이해할 수 있는 도구이다.
함수(Function)를 통한 무한대
함수에서 무한대(∞)는 고정된 숫자나 실수가 아니며, 끝없이 커지는 상태(과정)를 나타내는 개념이다.
함수에서 무한대는 그래프의 끝자리 행동이나 특정 지점에서 값이 폭발하는 현상을 설명할 때 사용된다.
변수 x가 어떤 값 a로 갈 때, 함수 값 f(x)가 한없이 커지는 상태를 양의 무한대로 발산한다고 한다. 그리고 변수 x 자체가 한없이 커질 때 함수 f(x)가 어떤 값으로 수렴하는지 혹은 발산하는지를 본다.
미적분을 통한 무한대
미적분학은 무한대 개념을 가장 역동적이고 실용적으로 활용하는 학문이다. 미분은 17세기 후반 아이작 뉴턴과 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 움직이거나 변화하는 물체의 순간적인 상태(변화율)를 정확히 계산하기 위해 만들었다.
평균속력이 아니라 순간속력을 구하기 위하여 미분이 만들어 졌다.
당시 과학자들은 행성의 궤도나 떨어지는 사과, 대포알의 이동 경로 등 시시각각 변하는 물체의 위치, 속도, 가속도를 수학적으로 설명해야 했다.
평균 속도만으로는 특정 순간의 정확한 속도나 힘(가속도)을 구할 수 없었기 때문에, 아주 짧은 시간(극한의 개념) 동안의 변화율을 구하는 도구가 필요했다. 그래서 보다 정확성을 추구하기 위하여 미적분은 '무한히 쪼개고(무한소)', '무한히 더하는 두 연산의 조화로 이루어진다.
구체적으로 미분이란 순간속도를 구하기 위하여 어떤 함수로부터 그 함수 기울기를 출력하는 새로운 함수를 만들어내는 것이다. 미분으로 만들어진 함수를 도함수라고 한다. 그림이 있는 상자 숫자라는 것이다.
이처럼 미분은 평균속도가 아닌 순간의 속도를 구하는 것이다. 따라서 미분은 운동방식을 계산하기 위해 만들어진 수학이다. 순간산속도를 구하는 것을 접선의 기울기를 통하여 구하는 것이다. 최대한 쪼개서 근접값에 도달하는 것이다. 즉 무한대가 아닌 무한소를 구하는 것이다.
평균 속도가 아닌 '어느 한순간의 속도'를 구하거나, 곡선의 특정 점에서 접선의 기울기를 구하는 문제, 그리고 함수의 최댓값·최솟값을 찾는 문제는 기존의 정적(靜的)인 대수학이나 기하학으로 해결하기 어려웠다.
뉴턴은 운동하는 물체의 순간 변화율(가속도 등)을 쉽게 계산하기 위해 '유율법(Method of Fluxions)'이라는 미분 개념을 창안했다.
오랜 기간 동안 미분은 '접선과 순간 변화율'을 구하는 문제로, 적분은 '넓이와 부피'를 구하는 문제로 서로 아무 연관 없이 따로 발전해 왔다.
이처럼 하나님의 무한대는 자연수, 집합, 유리수, 수열, 순열, 미적분, 함수를 통해서 드러났다. 수학은 결국 하나님의 무한대를 설명하는 언어에 불과했다.
<저작권자 ⓒ 뉴스와논단 무단전재 및 재배포 금지>
관련기사목록
|
